Понятие случайной величины является одним из основных понятий теории вероятностей. Под данным термином подразумевается величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей. Функцией распределения вероятностей случайной величины ξ называется вероятность того, что ξ примет значение, меньшее, чем произвольное число х:
F(x) = P{ξ .
Случайные величины принято обозначать греческими буквами, а принимаемые ими значения – строчными латинскими [23]. В зависимости от характера принимаемых значений различают 2 основных класса случайных величин: дискретные и непрерывные.
Дискретные случайные величины могут принимать только конечное или счетное множество значений. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.
Пусть ξ – дискретная случайная величина, единственно возможными значениями которой являются числа x1,x2,...,xn. Обозначим через
pi = P(ξ = xi)(i=1,2,...,n)
вероятности этих значений. Тогда закон распределения случайной величины ξ задает таблица
ξ | x1 | x2 | … | xn |
p | p1 | p2 | … | pn |
Непрерывной называется случайная величина, все возможные значения которой целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Для любой непрерывной случайной величины существует неотрицательная функция f(x), при любых х удовлетворяющая равенству: $F(x) = \int\limits_{ - \infty }^x {f(x)dx} $.
Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:
1. f(x)≥0.
2. При любых x1 и x2 удовлетворяет равенству $P\left\{ {{x_1} \leqslant \xi < {x_2}} \right\} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {f(x)dx} $.
3. ∫f(x)dx = 1.
F(x) является первообразной функцией для функции f(x):
F'(x) = f(x),
поэтому функцию F(x) называют также интегральным, а плотность вероятностей f(x) - дифференциальным законом распределения случайной величины ξ. Функция распределения имеет также смысл для дискретных случайных величин.
В теории вероятностей в отношении непрерывных случайных величин доказана следующая важная теорема [27].
Теорема. Вероятность (до опыта) того, что непрерывная случайная величина ξ примет заранее указанное строго определенное значение а, равна нулю.
Рассмотрим теперь вероятностное пространство {Ω, Θ, P}, на котором определены n случайных величин
ξ1 = f1(ω), ξ2 = f2(ω),...,ξn = fn(ω).
Тогда вектор (ξ1,ξ2,...,ξn) называется случайным вектором или n-мерной случайной величиной.
Обозначим через {ξ11,ξ22,...,ξnn} множество тех элементарных событий ω, для которых одновременно выполняются неравенства
ξ11,ξ22,...,ξnn.
Это событие принадлежит множеству Θ, т.е.
{ξ11,ξ22,...,ξnn}∈Θ.
Таким образом, при любом наборе чисел определена вероятность
F(x1,x2,...,xn) = P{ξ11,ξ22,...,ξnn}.
Функция F(x1,x2,...,xn) от n аргументов называется n-мерной функцией распределения случайного вектора (ξ1,ξ2,...,ξn).
Геометрическая интерпретация рассматривает вектор (ξ1,ξ2,...,ξn) как координаты точки n-мерного евклидова пространства. Функция F(x1,x2,...,xn) при такой интерпретации дает вероятность попадания точки (ξ1,ξ2,...,ξn) в n-мерный параллелепипед ξ11,ξ22,...,ξnn с ребрами, параллельными осям координат.
Функция распределения, указывая на то, какие значения может принимать случайная величина и с какими вероятностями, представляет собой наиболее полную характеристику последней. Однако общую количественную характеристику о случайной величине могут дать некоторые постоянные числа, получаемые по определенным правилам из функций распределения. К числу этих постоянных относятся математическое ожидание и дисперсия.
Для произвольной случайной величины ξ с функций распределения f(x) математическим ожиданием называется интеграл
Mξ = ∫xdF(x).
Для непрерывных случайных величин, распределенных по нормальному закону, математическое ожидание равно генеральному среднему, а его наилучшей точечной оценкой является выборочное среднее. Наилучшей точечной оценкой асимметрично распределенных непрерывных случайных величин является медиана.
Дисперсией случайной величины ξ называется математическое ожидание квадрата уклонения ξ от Mξ:
Dξ = M(ξ - Mξ)2.
Таким образом, математическое ожидание представляет собой характеристику центральной тенденции (типичного значения) случайной величины, а дисперсия – меры ее рассеяния.
В заключение следует также охарактеризовать независимые и зависимые случайные величины. Две случайные величины считаются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Несколько случайных величин являются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.
Читать далее раздел "2.1. Семантика логических формул экспертных суждений"⇒