1.5.Элементарные формулы теории вероятностей

В данном разделе будут приведены без соответствующих доказательств выводимые в аксиоматической теории вероятностей элементарные теоремы и их следствия.

Теорема сложения произвольных событий. Вероятность суммы двух произвольных событий равна разности суммы и произведения вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Следствие. Вероятность суммы произвольных событий никогда не превосходит суммы вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ +...+ A_n) ≤ P(A₁) + P(A₂) +...+P(A_n).

Теорема сложения несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ +...+ A_n) = P(A₁) + P(A₂) +...+P(A_n).

Теорема о полной группе событий. Сумма вероятностей событий полной группы попарно несовместных событий равна 1:

P(A₁) + P(A₂) +...+ P(A_n) = 1.

Для формулирования остальных элементарных теорем необходимо введение дополнительных определений.

Определение 1. Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной> вероятностью события А и обозначается как

P(A|B) = P_B(A).

Если при вычислении вероятности Р(А) никаких ограничений, кроме условий Ψ не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Строго говоря, безусловные вероятности также являются условными, поскольку исходным моментом их определения было предположение о существовании некоторого неизменного комплекса условий Ψ.

Определение 2. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого, т.е.

$P(A) = P(A|B) = P(A|\bar B)$ и $P(B) = P(B|A) = P(B|\bar A)$.

В противном случае события называются зависимыми.

Определение 3. События называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любое произведение остальных (включающее либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

События, независимые в совокупности, попарно независимы между собой; обратное утверждение неверно.

Теорема умножения произвольных событий. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т.е.

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).

Следствие. Для любых двух событий А и В справедливо равенство

P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).

Теорема умножения произвольных событий допускает обобщение на случай нескольких событий.

Теорема умножения независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

P(AB) = P(A)P(B).

Теорема умножения независимых в совокупности событий. Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A₁ x A₂ x...x A_n) = P(A₁) x P(A₂) x...x P(A_n).

Формула полной вероятности. Вероятность события В, появляющегося в результате реализации одной и только одной гипотезы A_i(i = 1, 2,..., n) из некоторой группы несовместных гипотез A₁, A₂,..., A_n равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности события В, т.е.

$P(B) = \sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i})P(B|{A_i})} $, причём $\sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i}) = 1} $.

В теоретико-вероятностных приложениях часто требуется найти вероятность события A_i, если известно, что В произошло. Общая схема решения подобных практических задач сводится к применению формулы Байеса:

$P({A_i}|B) = {{P({A_i})P(B|{A_i})} \over {\sum\limits_{j = 1}^n {P({A_j})P(B|{A_j})} }}$.

Принцип использования формулы Байеса можно пояснить следующим образом.

Пусть событие В может быть реализовано в различных условиях, относительно характера которых можно сделать n гипотез: A₁, A₂,...,A_n.

По тем или иным причинам вероятности P(A_i) этих гипотез известны до испытания (априорные вероятности). Известно также, что гипотеза A_i сообщает событию В вероятность P(B|A_i). Произведен опыт, в котором событие В наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез A_i. Переоценка указанных вероятностей производится по формуле Байеса. Переоцененные вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями.

Сама по себе формула Байеса теоретически бесспорна, но во многих случаях ее применения априорные вероятности P(A_i) неизвестны. Некоторые исследователи в таких случаях считают возможным предполагать равные вероятности всех гипотез A_i [114]. Однако в общем случае такой подход неверен [23,139,140].

Другим выходом из проблемной ситуации, связанной с незнанием априорных вероятностей, явился метод последовательного применения формулы Байеса, когда апостериорные вероятности многократно пересчитываются и на каждом последующем шаге используются как априорные. При этом неизвестные априорные гипотезы также принимаются равновероятными, но многократный пересчет значительно снижает влияние данного предположения на конечные результаты [93,140].

Читать далее раздел "1.6. Случайные величины и функции распределения"⇒