В данном разделе будут приведены без соответствующих доказательств выводимые в аксиоматической теории вероятностей элементарные теоремы и их следствия.
Теорема сложения произвольных событий. Вероятность суммы двух произвольных событий равна разности суммы и произведения вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Следствие. Вероятность суммы произвольных событий никогда не превосходит суммы вероятностей этих событий:
P(A1 + A2 +...+ An) ≤ P(A1) + P(A2) +...+P(An).
Теорема сложения несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A1 + A2 +...+ An) = P(A1) + P(A2) +...+P(An).
Теорема о полной группе событий. Сумма вероятностей событий полной группы попарно несовместных событий равна 1:
P(A1) + P(A2) +...+ P(An) = 1.
Для формулирования остальных элементарных теорем необходимо введение дополнительных определений.
Определение 1. Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной> вероятностью события А и обозначается как
P(A|B) = PB(A).
Если при вычислении вероятности Р(А) никаких ограничений, кроме условий Ψ не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Строго говоря, безусловные вероятности также являются условными, поскольку исходным моментом их определения было предположение о существовании некоторого неизменного комплекса условий Ψ.
Определение 2. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого, т.е.
$P(A) = P(A|B) = P(A|\bar B)$ и $P(B) = P(B|A) = P(B|\bar A)$.
В противном случае события называются зависимыми.
Определение 3. События называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любое произведение остальных (включающее либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.
События, независимые в совокупности, попарно независимы между собой; обратное утверждение неверно.
Теорема умножения произвольных событий. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т.е.
P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Следствие. Для любых двух событий А и В справедливо равенство
P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Теорема умножения произвольных событий допускает обобщение на случай нескольких событий.
Теорема умножения независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A)P(B).
Теорема умножения независимых в совокупности событий. Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(A1 x A2 x...x An) = P(A1) x P(A2) x...x P(An).
Формула полной вероятности. Вероятность события В, появляющегося в результате реализации одной и только одной гипотезы Ai(i = 1, 2,..., n) из некоторой группы несовместных гипотез A1, A2,..., An равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности события В, т.е.
$P(B) = \sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i})P(B|{A_i})} $, причём $\sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i}) = 1} $.
В теоретико-вероятностных приложениях часто требуется найти вероятность события Ai, если известно, что В произошло. Общая схема решения подобных практических задач сводится к применению формулы Байеса:
$P({A_i}|B) = {{P({A_i})P(B|{A_i})} \over {\sum\limits_{j = 1}^n {P({A_j})P(B|{A_j})} }}$.
Принцип использования формулы Байеса можно пояснить следующим образом.
Пусть событие В может быть реализовано в различных условиях, относительно характера которых можно сделать n гипотез: A1, A2,...,An.
По тем или иным причинам вероятности P(Ai) этих гипотез известны до испытания (априорные вероятности). Известно также, что гипотеза Ai сообщает событию В вероятность P(B|Ai). Произведен опыт, в котором событие В наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез Ai. Переоценка указанных вероятностей производится по формуле Байеса. Переоцененные вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями.
Сама по себе формула Байеса теоретически бесспорна, но во многих случаях ее применения априорные вероятности P(Ai) неизвестны. Некоторые исследователи в таких случаях считают возможным предполагать равные вероятности всех гипотез Ai [114]. Однако в общем случае такой подход неверен [23,139,140].
Другим выходом из проблемной ситуации, связанной с незнанием априорных вероятностей, явился метод последовательного применения формулы Байеса, когда апостериорные вероятности многократно пересчитываются и на каждом последующем шаге используются как априорные. При этом неизвестные априорные гипотезы также принимаются равновероятными, но многократный пересчет значительно снижает влияние данного предположения на конечные результаты [93,140].
Читать далее раздел "1.6. Случайные величины и функции распределения"⇒