Вы здесь
6.2. Вероятностная модель причинности
Перспективной аксиоматической теорией, которая могла бы составить фундамент формальной теории причинности, представляется аксиоматическая теория вероятностей, в качестве своих подсистем включающая символику и классы допустимых формул логики предикатов, теории множеств и математического анализа. Однако препятствием на пути использования теории вероятностей в качестве фундамента теории причинности является ограниченная приложимость первой, в частности, только лишь к массовым (повторяющимся) событиям. Вследствие этого принципы формальной теории причинности, основанной на теоретико-вероятностных концепциях, также будут неприменимы к уникальным событиям, не допускающим повторений.
Преодоление этого препятствия возможно путем введения абстракции потенциальной воспроизводимости. В соответствии с указанным принципом каждое исследуемое событие рассматривается как потенциально воспроизводимое при повторении того же комплекса условий, при действии которых оно было однажды реализовано. При этом мы отвлекаемся от ограниченности наших возможностей во времени и средствах. Благодаря данному принципу вероятность становится универсальным свойством, присущим любым событиям и представляющим собой объективную меру неопределенности относительно их возможной реализации.
Принципиальным моментом при построении вероятностной модели причинности следует также считать необходимость фиксации комплекса Ψ условий, при наличии которого осуществляется реализация двух или более событий, актуальных в плане выяснения возможных причинно-следственных отношений. При этом сами исследуемые события в данный комплекс не входят.
По своей сути фиксируемый комплекс условий Ψ представляет собой совокупность событий, наличие которых существенно для реализации причинно-следственных связей между событиями, не входящими в данный комплекс. Фиксация комплекса условий Ψ может подразумевать не только наличие каких-либо событий, но и факт их отсутствия, если это существенно для выяснения причинно-следственных отношений.
Необходимость фиксации комплекса условий Ψ объясняется тем, что изменение его объема может влиять на рассмотрение причинно-следственных отношений между изучаемыми событиями. Например, причинение черепно-мозговой травмы, сопровождавшейся утратой сознания и, соответственно, способности потерпевшего к совершению активных действий, в случаях смерти от гипотермии расценивается лишь как условие, способствовавшее реализации патогенного действия причины, которой являлась низкая температура окружающей среды. В то же время, при юридической оценке так называемого пассивного детоубийства, выразившегося в оставлении матерью новорожденного в условиях низкой температуры, в качестве причины смерти ребенка должно быть расценено действие (бездействие) матери.
Эти простые примеры показывают, что отсутствие фиксации комплекса условий Ψ при рассмотрении причинно-следственных отношений неизбежно приводит к возникновению противоречий. Так, в примере с пассивным детоубийством причиной смерти новорожденного с медицинской точки зрения является гипотермия, а с юридической – действие матери. Это противоречие объясняется тем, что медицинская оценка причинных связей в данном случае производится без включения гипотермии в комплекс существенных условий Ψ, а юридическая – с ее включением. Поэтому все споры относительно причинности без фиксации комплекса условий Ψ следует признать заведомо неконструктивными.
Выделение комплекса Ψ необходимо также потому, что в материальной действительности анализируемые совокупности событий всегда представляют собой цепи причинных связей. Из-за этого для любого события, рассматриваемого нами в качестве причины, обязательно найдется своя собственная причина, которая в силу транзитивности причинной связи и должна быть квалифицирована в качестве первоначальной. Так, без фиксации комплекса Ψ в случаях смерти от гипотермии в качестве ее причины можно рассматривать не воздействие низкой температуры, а какое-либо иное, более раннее существенное событие – например, наступление зимы.
На практике при анализе причинно-следственных связей комплекс существенных условий Ψ чаще всего интуитивно очевиден, вследствие этого специально не оговаривается, а отсутствие его формальной фиксации обычно не приводит к абсурдным или противоречивым результатам, подобным таковым в приведенных примерах. Однако этого нельзя утверждать относительно всех практических ситуаций, в том числе и потенциально возможных.
С учетом изложенного в вероятностной модели причинная связь задается следующим формальным определением.
Определение. Событие А при фиксированном комплексе условий Ψ есть причина события В, если оно происходит раньше В, и вероятность наступления В при отсутствии А равна нулю, а при наличии А равна вероятности достоверного события.
Язык, индукционные правила формирования логических формул, множество формул языка системы, а также множества аксиом, фиксированных правил и допустимых правил секвенционального вывода строящейся формальной вероятностной теории причинности включают все перечисленные компоненты аксиоматической теории вероятностей А.Н. Колмогорова и всех других теорий, являющихся подсистемами последней (теория множеств, классическая логика высказываний и предикатов, математический анализ и др.). Дополнительно условимся обозначать события, заключающиеся в наступлении определенной последовательности событий через , где А наступило раньше, чем В, а В – раньше, чем С.
Необходимым моментом анализа причинно-следственных отношений является конкретизация комплексов Ψ фиксированных и $\bar{\Psi}$ рассматриваемых событий. Тогда причинной связи присущи следующие постулированные свойства (аксиомы):
1) $\left ( A+B \right )\subseteq \bar{\Psi}$ - нефиксированность причины и следствия в комплексе $\Psi$;
2) $A,B=\Omega$ - первоочередность причины по отношению к следствию (гетерохрония причины и следствия);
3) $P\left ( B\mid \Psi \bar{A} \right )=0$ - конкретизированная необходимость причины;
4) $P\left ( B\mid \Psi A \right )=1$ - конкретизированная достаточность причины.
Из приведенных аксиом выводим широкий ряд других утверждений. Сформулируем наиболее важные из указанных утверждений, а также приведем их доказательства.
Лемма о нулевой вероятности причины и следствия у невозможного события. Вероятность наличия причины и следствия у невозможного события равна нулю.
Доказательство. Рассмотрим произвольные события А и В такие, что $A\Rightarrow B$ при фиксированном комплексе условий Ψ. По отношению к причине А событие В подразделяется на частные случаи
$B=AB+\bar{A}B.$
Отсюда
$P\left ( B \right )=P\left ( AB \right )+P\left ( \bar{A} B \right ).$ (1)
Во времени реализация произведения событий АВ может быть представлена следующими последовательностями:
$AB=A,B+B,A+\frac{A}{B},$ (2)
где символ $\frac{A}{B}\equiv \frac{B}{A}$ обозначает одновременность наступления событий А и В. При этом
$B,A+\frac{A}{B}=AB-A,B=\bar{A,B}.$ (3)
Поскольку $A\Rightarrow B$, то при комплексе Ψ
$\bar{A,B}\equiv \bar{A}B.$ (4)
Следовательно, в силу (2-4) при комплексе Ψ
$AB\equiv A,B.$ (5)
Учитывая эквивалентность (5), в силу свойства конкретизированной необходимости причины сумма (1) представима в виде
$P\left ( B \right )=P\left ( A,B \right )+0=P\left ( AB \right )=P\left ( A \right )\cdot P\left ( B\mid A \right ).$
Так как $P\left ( B\mid \Psi A \right )=1$, то при комплексе Ψ
$P\left ( B \right )=P\left ( A \right ).$ (6)
Подставляя вероятность невозможного события в формулу (6), получаем
$B=\varnothing \rightarrow P\left ( A \right )=1,$ (7)
$A=\varnothing \rightarrow P\left ( B \right )=1.$ (8)
Лемма доказана.
В аспекте рассмотрения доказанной леммы необходимо сделать следующее пояснение. В теории вероятностей считается, что вероятность невозможного события есть нуль, обратное же утверждение неверно. Неэквивалентность невозможного события и нулевой вероятности привела к возникновению парадоксов нулевой вероятности и сложения многих «ничто» в «нечто» [93]. В этой связи рядом математиков было предложено делать различие между нулем и бесконечно малыми числами, в том числе приписывая нулевую вероятность только невозможным событиям [149]. С учетом этой поправки формулы (7) и (8) становятся эквивалентными формулам
$A=\varnothing \rightarrow B=\varnothing,$
$B=\varnothing \rightarrow A=\varnothing.$
Полученные выражения означают невозможность (отсутствие) причины и следствия у невозможного события.
Заметим также, что если $A=B=\varnothing$, то $\bar{A}=\bar{B}=\Omega$.
Лемма об обязательности причины и следствия. Всякое возможное событие имеет свою причину и свое следствие.
Доказательство. Допустим, что событие В не имеет причины, т.е. для любого А, такого, что $A\Rightarrow B$, верно $A= \varnothing$. Тогда, согласно (7) и (8), имеем $P\left ( B \right )=0$, что противоречит исходному условию $P\left ( B \right )\neq 0$. Следовательно, всякое возможное событие В имеет свою причину, и для любого А, являющего причиной В, утверждение $P\left ( B \right )\neq 0$ означает, что $P\left ( A \right )\neq 0$.
Аналогично, при допущении $B=\varnothing$ имеем $P\left ( A \right ) =0$, что противоречит исходным условиям. Поэтому всякое возможное событие А имеет свое следствие, и для любого А, являющего причиной В, утверждение $P\left ( A \right ) \neq 0$ означает, что $P\left ( B \right ) \neq 0$.
Лемма доказана.
Теорема об антирефлексивности причинной связи. Ничто не является причиной самого себя.
Доказательство. Пусть произвольное событие А является причиной самого себя. Но это противоречит аксиоме о первоочередности причины по отношению к следствию. Следовательно, верно утверждение $\rightharpoondown \left ( A\Rightarrow A \right )$.
Теорема доказана.
Теорема о непротиворечивости причины. Одно и то же событие не может быть одновременно как причиной наличия какого-то события, так и причиной его отсутствия.
Доказательство. Пусть произвольное событие А является как причиной наличия следствия В, так и причиной его отсутствия: $A\Rightarrow B\bar{B}$. Однако произведение противоположных событий является невозможным: $B\bar{B}=\varnothing$, а у невозможного события нет причины. Следовательно, верно отрицание введенного предположения $\rightharpoondown \left ( A\Rightarrow B\bar{B} \right )$.
Теорема доказана.
Теорема об антисимметричности причинной связи. Если одно событие есть причина второго, то второе не является причиной первого.
Доказательство. Рассмотрим произвольные события А и В такие, что
$A\Rightarrow B, P\left ( A \right ) \neq 0$, и $P\left ( B \right )\neq 0$.
Вследствие свойства первоочередности причины достоверной является следующая последовательность указанных событий:
$A,B=\Omega$.
Отсюда невозможной является совокупность событий, составляющих противоположное последовательности А,В событие:
$\bar{A,B} =\varnothing$.
Допустим, что $B\Rightarrow A$. Тогда должна иметь место также последовательность B,A. Но данная последовательность является частным случаем события невозможного события $\bar{A,B}$:
$\left ( B,A \right )\subset \left ( \bar{A,B} \right ),$
т.е. $B,A=\varnothing$.
Отсюда согласно лемме о нулевой вероятности причины и следствия у невозможного события должны иметь место
$P\left ( A \right ) =0$ и $P\left ( B \right ) =0$.
А это противоречит исходным условиям. Значит, $\rightharpoondown \left ( B\Rightarrow A \right )$.
Теорема доказана.
Теорема о транзитивности причинной связи. Если одно событие является причиной второго, а второе – причиной третьего, то первое из них есть причина последнего.
Доказательство. Рассмотрим произвольные события А, В и С, такие, что $A\Rightarrow B$ и $B\Rightarrow C$ при комплексе условий Ψ. Для утверждения $A\Rightarrow C$ необходимо доказать первоочередность А по отношению к С, а также выполнимость утверждений
$P\left ( C\mid \bar{A} \right )=0$ и $P\left ( C\mid A \right )=1$.
Очевидно, что ввиду гетерохронии причинной связи имеет место следующая последовательность реализации указанных событий: A,B,C. Отсюда следует выполнимость требования A,C.
Заметим, что
$P\left ( A,B,C \right )=P\left ( A \right )\cdot P\left ( B\mid A \right )\cdot P\left ( C\mid B \right )=P\left ( A \right )\cdot P\left ( C\mid A \right ).$
Отсюда при комплексе Ψ
$P\left ( C\mid A \right )=P\left ( B\mid A \right )\cdot P\left ( C\mid B \right ).$
Так как в силу свойства конкретизированной достаточности причины при комплексе Ψ
$P\left ( B\mid A \right )=1$ и $P\left ( C\mid B \right )=1$,
то $P\left ( C\mid A \right )=1$. Тогда вероятность противоположного события
$P\left ( C\mid \bar{A} \right )=1-P\left ( C\mid A \right )=0$.
Поскольку все необходимые условия причинной связи между событиями А и С выполняются, то $A\Rightarrow C$.
Теорема доказана.
После рассмотрения основных выводимых в вероятностной модели причинности утверждений перейдем к изложению формальных определений частичной причины и условия, а также прямой и косвенной причинной связи.
Определение. Каждое из независимых и неравносильных друг другу событий есть частичная причина события В, если произведение каузально имплицирует В.
Таким образом, свойство каждого из событий быть элементом комплекса частичных причин следствия В требует выполнения четырех утверждений:
1) - нефиксированность суммы частичных причин в комплексе Ψ;
2) - взаимная каузальная независимость частичных причин;
3) - взаимная неравносильность частичных причин;
4) - каузальная импликация следствия произведением частичных причин.
В силу определений понятий каузальности и произведения событий четвертое постулированное свойство частичной причины означает следующее:
1) любое событие из комплекса частичных причин наступает раньше, чем их следствие В;
2) по отношению друг к другу каузальное произведение может быть реализовано различными последовательностями событий ;
3) без учета возможностей одновременного наступления двух или более событий число возможных последовательностей реализации каузального произведения равно ;
4) для любого .
5) любое событие из множества частичных причин становится полной причиной при фиксации ее дополнения до данного множества в комплексе Ψ.
Определение. Событие С из комплекса Ψ есть условие реализации причинной связи между причиной А и следствием В, если при его включении в комплекс рассматриваемых событий оно становится частичной причиной: .
Формально условие С причинной связи определяют следующие тождества:
1) - фиксированность условия в комплексе Ψ;
2) - трансформация условия в частичную причину при его включении в комплекс рассматриваемых событий .
Следствиями последнего тождества являются утверждения:
1) - первоочередность условия по отношению к следствию (гетерохрония условия и следствия);
2) - каузальная независимость причины и условия;
3) - трансформация условия в полную причину при включении причины в комплекс фиксированных условий Ψ.
4) - конкретизированная необходимость условия.
Третье следствие означает, что любое условие само становится причиной при расширении объема фиксированного комплекса Ψ путем добавления в него основной причины А.
Заметим также, что определение условия не накладывает каких-либо ограничений на взаимную последовательность наступления событий А и С:
, и .
Изложение формальных принципов вероятностной модели причинности завершает определение прямых и косвенных причинных связей.
Определение. Между событиями А и В при комплексе фиксированных условий Ψ имеется прямая причинная связь, если А есть полная или частичная причина следствия В:
.
Определение. Между событиями С и В имеется косвенная причинная связь, если С есть дополнительное к комплексу Ψ условие реализации В при действии причины А:
.
Используя данные определения, прочно укоренившиеся в судебно-медицинской экспертной практике, можно дать иную формулировку теоремы о транзитивности причинной связи:
Между первым и последним в хронологической последовательности событий имеется прямая причинная связь , если таковая присутствует во всех парных звеньях данной цепи:
.
Таким образом, построенная вероятностная теория причинности позволяет рассматривать любую частичную причину в качестве условия и наоборот. Кроме того, в рамках указанной теории произвольное событие А является полной причиной следствия В только при определенном комплексе фиксированных условий Ψ. Поскольку комплекс Ψ всегда может быть изменен, то фактически любая причина является частичной. Поэтому в рамках вероятностной модели можно говорить лишь об относительно полных причинах.
Построенная формальная вероятностная теория причинности допускает формализацию всех свойств причинной связи (конкретизированная необходимость и достаточность, гетерохрония, антирефлексивность, антисимметричность, непротиворечивость и транзитивность), а также описание условий, моно – и поликаузальности, полных и неполных причин. Основными метасвойствами вероятностной теории причинности являются следующие: непротиворечивость, выполнимость, неполнота и взаимная независимость аксиом. Указанные свойства вероятностной теории причинности позволяют использовать ее для описания фактов и явлений, наблюдаемых в судебно-медицинской практике.
