Вы здесь

Глава 1 Введение в теорию вероятностей 1.1. Элементы теории множеств

Основным материалом для построения большого количества математических теорий, в том числе и теории вероятностей, а также логических исчислений являются множества. В этой связи в настоящем разделе будут приведены основные теоретико-множественные понятия, правила задания и свойства множеств, указаны базовые операции над множествами и принципы их формализации. Также будут охарактеризованы некоторые парадоксы, возникающие при практическом применении теоретико-множественных концепций.

Понятие «множество» в математике относится к первичным, поскольку отсутствуют какие-либо другие понятия, пригодные для их определения. Обычно под термином «множество» понимается некоторая, вполне определенная совокупность объектов [43,45,144].

Объекты, входящие в множество, принято называть элементами данного множества. Для выражения того факта, что некоторый элемент а принадлежит множеству А, используется двухместный предикат принадлежности a ∈ A. Отсутствие принадлежности элемента а множеству А символически обозначают a ∉ A. Следует обратить внимание, что для обозначения множеств обычно используются прописные буквы, а элементов множеств – строчные. Элементы множества могут также обозначаться и прописными буквами, если они сами являются множествами. В подобных случаях значение использованной символики обычно бывает понятно из контекста.

Небольшие конечные множества можно описывать, перечисляя их элементы. В этом случае элементы, принадлежащие конечному множеству, записывают между двумя фигурными скобками и разделяют их запятыми. Например, {0, 1, 2, 3} есть множество, содержащее натуральные числа 0, 1, 2 и 3. А = {кровоподтек левой височной области, правосторонняя супратенториальная субдуральная гематома, субарахноидальное кровоизлияние левой теменной доли головного мозга} есть множество повреждений, выявленных при исследовании конкретного трупа, состоящее из кровоподтека, субдуральной гематомы и субарахноидального кровоизлияния указанных локализаций.

Изложенный способ описания множеств применим и к достаточно большим и даже бесконечным множествам, если известен закон образования их элементов:

N = {0, 1, 2, 3,...} - множество всех натуральных чисел;
C = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} - множество всех целых чисел;
E = {0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...} - множество всех четных чисел.

Графическое задание множеств основано на использовании диаграмм Венна. На указанных диаграммах множество обозначается определенной геометрической фигурой (кругом, квадратом, прямоугольником и пр.). Точки плоскости, заключенные внутри этой фигуры, обозначают элементы данного множества. Если необходимо рассмотреть несколько множеств, то нужно нарисовать соответствующее число фигур. Такие схемы помогают наглядно представить себе взаиморасположение множеств и подсказать различные возможные пути рассуждений. Однако в литературе по математической логике подчеркивается, что для строгих доказательств на диаграммы Венна в силу их схематичности полностью полагаться не стоит [9]. Показательные примеры судебно-медицинских приложений диаграмм Венна приведены в работе И.Г. Вермеля и А.А. Солохина [18].

В общем случае множество задается путем указания характеристического свойства, которому удовлетворяют элементы данного множества, и только они. Для такого задания обычно используются фигурные скобки, а внутри них приводится характеристическое свойство, описывающее множество. Таким образом, запись

A = {x/ x обладает свойством F}

предполагает, что множество А содержит все объекты, обладающие свойством F.
Используя предикат F, указанное множество А также можно обозначить записью

A = {x/ F(x)}.

Изложенный способ задания множеств часто называется схемой свертывания [43].

Если нужно задать какое-либо семейство (множество) некоторых множеств, то можно использовать следующее обозначение:

A = {Ai}ieI,

где элементами семейства Α являются всевозможные множества , а множество I играет роль множества индексов (номеров) для множеств указанного семейства. Например, множество внутричерепных субдуральных гематом

A = {Ai}i=1,2 ,

включает в себя два подмножества

A1 = {a/ a расположена супратенториально},

A2 = {a/ a расположена субтенториально}

супратенториальных и субтенториальных гематом.

В целом задание множеств путем указания характеристического свойства его элементов очень удобно и в теоретико-множественных рассуждениях используется чаще всего. Однако подобный способ описания множеств имеет и недостатки. В частности, характеристическое свойство элементов множества может быть сформулировано таким образом, что бывает трудно, а иногда и просто невозможно проверить, обладает ли какой-либо элемент этим свойством. Здесь возможны три ситуации, первая из которых связана с неадекватным описанием характеристического свойства элементов множества:

A = {x/ x квалифицированный судебно - медицинский эксперт}.

В данном случае неясно, какой собственно признак квалификации положен в основу формирования множества квалифицированных судебно-медицинских экспертов: стаж экспертной работы, спектр выполняемых экспертных исследований, занимаемая должность, наличие квалификационной категории, ученой степени и т.д. Устранить данную неясность можно только путем указания одного или группы определенных критериев принадлежности к множеству квалифицированных экспертов.

Вторая проблемная ситуация задания множеств связана с феноменом нечеткости характеристического свойства его элементов:

A = {x/ x разлитое трупное пятно}.

В приведенном примере характеристическое свойство элементов множества А указано вполне конкретно. Это большая площадь трупного пятна. Однако данное свойство характеризуется нечеткостью, в силу которого относительно произвольно выбранного трупного пятна трудно решить, относится ли оно к категории разлитых или нет. В данном случае чтобы принять однозначное решение, необходимо дать точное определение, например, «трупное пятно разлитое, если отношение его площади к поверхности всего тела составляет более 40%».

Последняя, более редкая проблемная ситуация описания элементов множества заключается в принципиальной невозможности проверки факта обладания предметом определенным четко заданным свойством. В литературе по математической логике подобная формулировка характеристического свойства иллюстрируется следующим примером:

A = {x/ x - натуральное число, являющееся суммой двух простых натуральных чисел}.

Есть предположение, что все четные натуральные числа, кроме 2, попадают в множество А (проблема Гольдбаха). Но до сих пор это никем не доказано и не опровергнуто [45].

Имеется и другая, более существенная трудность задания множеств путем указания характеристического свойства их элементов, называемая парадоксом Рассела. Данный парадокс связан с тем, что в силу особенностей анализируемого способа задания множеств элементом множества является само это множество. Попытка решения вопроса о принадлежности множества А самому себе приводит к противоречию:

A ∈ A. тогда и только тогда, когда A ∉ A.

Обнаружение Б. Расселом названного парадокса показало противоречивость теории множеств Г. Кантора, которая вплоть до рубежа XIX-XX веков мыслилась как строгий и удобный фундамент всей математики, логики и их естественнонаучных приложений. Для устранения этого и других противоречий были предложены аксиоматические теоретико-множественные системы. Наиболее известны из них системы Цермело-Френкеля, Гильберта-Бернайса-Гёделя и Рассела-Уайтхеда [9,40,43,45]. Обычные способы получения парадоксов в рамках указанных систем уже не получаются. Концепция же Г. Кантора получила название наивной, или интуитивной, теории множеств.

Изложенный парадокс Рассела служит причиной ошибочности отождествления понятий «класс» и «множество» объектов. Это объясняется тем, что для устранения парадокса Рассела необходимо либо признать незаконным само определение множества при помощи схемы свертывания, либо опротестовать какое-либо звено дальнейших рассуждений. Полностью отказаться от элементарных приемов рассуждения о множествах было бы затруднительно, поскольку они очень часто применяются на практике и обычно не приводят к противоречиям. В этой связи достаточно единодушно в математике и логике принято считать незаконным неограниченное определение множеств с помощью схемы свертывания [43]. Кроме того, были наложены ограничения на перенос логических законов, понятных для конечных множеств на бесконечные совокупности. Подобные ограничения, в частности, сформулированы в рамках программы финитизма (от finitary – конечный) Д. Гильберта. Последний по этому поводу заметил, что «аккуратное обращение с бесконечными множествами не позволит изгнать нас из рая, созданного Г. Кантором» [цит. по 40,45].

Таким образом, в настоящее время общепринято, что схема свертывания A ={x/ F(x)} определяет некоторый класс А, который, может оказаться и не множеством. Однако переменная х «пробегает» по-прежнему множества, так что А есть класс, элементы которого суть множества [43]. Образование же классов, элементами которых были бы собственно классы, а не множества, запрещено.

Изложенные правила задания множеств показывают, что не всякое свойство определяет множество объектов, хотя всякое свойство определяет их класс. Отсюда множества представляют собой частные виды классов.

В этой связи следует обратить внимание, что в судебно-медицинских исследованиях, опирающихся на теоретико-множественные концепции, термин «множество» часто используется в его логически наивном понимании [17]. Прежде всего, это касается проблемы диагностического поиска, которая в соответствии с современными теоретико-множественными определениями подразумевает отнесение исследуемого объекта к определенному классу, а не множеству объектов. Именно в таком аспекте, в частности, рассматривается процедура судебно-медицинской идентификации, которая в силу указанных причин имеет также такое, не менее распространенное, название, как классификация [55,60].

Рассмотрим основные понятия теории множеств и операции над множествами. Для каждого понятия дадим его формализованное определение на языке логики предикатов с использованием модели

U = 〈U;∈〉,

где U – универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества, кроме его самого, являются его подмножествами; ∈ - двухместный предикат принадлежности, означающий, что множество х входит как элемент в множество у.

Если каждый элемент множества А является и элементом множества В, то А называется подмножеством множества В, а В – надмножеством множества А. Такое отношение включения множеств А и В обозначается через A ⊆ B.

Например, множество субдуральных гематом включает в себя подмножество супратенториальных гематом, которое, в свою очередь, является надмножеством по отношению к множеству правосторонних супратенториальных субдуральных гематом.

В тех случаях, когда A ⊆ B, но A ≠ B, используют символ строгого включения A ⊂ B и говорят, что А есть собственное подмножество В.

Собственным подмножеством множества субдуральных гематом, в частности, является совокупность супратенториальных субдуральных кровоизлияний.

Из данного определения следует, что равенство множеств имеет только в том случае, когда они содержат одни и те же элементы.

Вследствие этого нельзя говорить о равенстве или неравенстве множеств правосторонних и левосторонних супратенториальных субдуральных гематом, так как ввиду непреодолимости для субдуральных скоплений крови пространств полости черепа, ограниченных отростками твердой мозговой оболочки, указанные множества не имеют общих элементов [87]. Отсюда субдуральные гематомы, локализованные по разные стороны от отростков твердой мозговой оболочки, следует считать множественными, имеющими различные источники.

Поскольку множество однозначно определяется только элементами, которое оно содержит, порядок их перечисления роли не играет. Так, {1, 2, 3} = {3, 2, 1}. Любой элемент либо принадлежит данному множеству, либо нет. Каждый элемент может входить во множество не более одного раза. Множество, не содержащее никаких элементов, называется пустым и обозначается ø или {}.
Для любых множеств А, В и С выполняются соотношения

ø ⊆ A;
если A ⊆ ø, то A = ø;
A ⊆ A;
если A ⊆ B и B ⊆ C, то A ⊆ C.

Множество всех подмножеств множества А обозначается P(A). Если А состоит из n различных элементов A = {a1, a2,..., an}, то P(A) состоит из 2n элементов:

P(A) = {ø, {a1},...,{an},{a1,a2},...,{a1,a2,...,an}}.

Например, множество всех подмножеств множества A = {a1,a2,a3} состоит из 23 =8 элементов:

P(A)={ø,{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3}}.

Существует ряд операций, позволяющих строить новые множества на основе уже имеющихся.

Пересечением A ∩ B множеств А и В называется множество, состоящее из их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В.

Например, если A={1, 2, 3} и B={3, 4, 5}, то A ∩ B={3}. Пусть

С = {х/ х имеет стаж экспертной работы более 20 лет},
D = {х/ х имеет высшую квалификационную категорию},
тогда
C ∩ D = {х/ х имеет стаж экспертной работы более 20 лет и высшую квалификационную категорию}.

В общем случае, если I = {1, 2, 3,..., n}, то пересечение трех и более множеств определяется как $\bigcap\limits_{i \in I} {{A_i} = {A_1} \cap {A_2} \cap ... \cap {A_n} = \left\{ {x/x \in {A_i}} \right\}} $, для всех i ∈ I.

Объединением A ∪ B множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Пользуясь обозначениями множеств А и В, а также C и D предыдущего примера, можно заключить, что A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, а C ∪ D = {х/ х имеет стаж экспертной работы более 20 лет или высшую квалификационную категорию}.

Объединение трех и более множеств определяется аналогично: $\bigcup\limits_{i \in I} {{A_i} = {A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} $.

Для выражения операции дополнения необходимо предварительное определение операции разности множеств. Классической разностью A - B множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В.

Продолжая анализ примеров, определяем, что A - B = {1, 2}, C - D = {х/ х имеет стаж экспертной работы более 20 лет и не имеет высшую квалификационную категорию}.

Дополнением $\bar A$ множества А называется множество элементов универсума, которые не принадлежат А: $\bar A = U - A$.

Так, дополнением множества С является множество $\bar C$ = {х/ х имеет стаж экспертной работы не более 20 лет}.

В тех случаях, когда y ⊆ x, разность x - y называется дополнением множества у до множества х и обозначается через (y)'x. Если множество х ясно из контекста, нижний индекс х часто опускается и пишется просто y'.

Например, множество правосторонних супратенториальных субдуральных гематом является дополнением множества их левосторонних аналогов до множества супратенториальных субдуральных гематом, а последнее, в свою очередь, является дополнением множества субтенториальных кровоизлияний до универсального множества внутричерепных субдуральных гематом.
Дополнение обладает следующими важными свойствами:

A ∩ A' = ∅,
A ∪ A' = U.

Анализ приведенных определений показывает, что теоретико-множественные операции пересечения, объединения и дополнения имеют схожие свойства с логическими операциями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. В силу этого основные утверждения, доказанные в теории множеств и отражающие свойства последних, дублируют соответствующие свойства классической логики высказываний [9,45].

Таким образом, теория множеств по праву считается фундаментом математики, логики и их естественнонаучных приложений. В теоретических исследованиях судебно-медицинской тематики теоретико-множественные концепции также находят достаточно широкое применение [18]. Следует подчеркнуть, что помимо наивной теории множеств и аксиоматических систем, ориентированных на устранение противоречий последней, существуют и другие теоретико-множественные концепции. Таковыми, в частности, являются теория нечетких множеств и теория альтернативных множеств [70,131,157]. Некоторые из указанных альтернативных теорий будут рассмотрены при характеристике феномена нечеткости.

Читать далее раздел "1.2. Недетерминированность и ее проявления: неопределенность и нечеткость"⇒