Вы здесь

1.3. Вероятность и методы ее определения

Вероятность понимается как численная мера неопределенности относительно появления некоторого случайного события. При этом термин «вероятность» применим лишь к таким случайным событиям, в отношении которых возможна объективная оценка доли случаев их появления [23]. Существуют три определения вероятности: классическое, геометрическое и статистическое. Каждое из них в действительности является не определением, а скорее методом вычисления вероятности.

Классическое определение вероятности осуществимо только при вполне определенных и сильно ограниченных условиях [23]. Указанные ограничения сводятся к предположению равновозможности (равновероятности) и несовместимости анализируемых событий. При этом под равновозможностью понимается объективное свойство изучаемых явлений, основанное на их реальной симметрии. Несовместимыми называются события, одновременное осуществление которых при данном комплексе условий невозможно.

Типичным примером классического определения вероятности при требуемых предположениях несовместимости и равновозможности является вычисление вероятностей выпадения какой-либо грани при подбрасывании симметричной кости. Данная вероятность очевидно равна отношению 1/n, где n – число граней кости. Указанное определение вероятности соответствует интуитивным представлениям о том, что исходом подбрасывания может явиться выпадение только какой-либо одной грани, причем вероятности выпадения каждой грани равны (вследствие предположения о симметричности кости), а сумма вероятностей выпадения всех граней равна 1. Поэтому превалирование частоты выпадения какой-то грани над таковой других граней при многочисленных подбрасываниях позволяет сделать вывод о нарушении свойства симметрии.

В теории вероятностей события, аналогичные таковым в примере с подбрасыванием симметричной кости, называются элементарными. Наряду с элементарными рассматриваются также события, состоящие из нескольких определенных элементарных событий. Таковым, например, является выпадение нечетного количества очков при подбрасывании симметричной кости.

Пусть событие А – некоторый исход испытания и

E1, E2,..., En

- конечная система всех равновозможных, единственно возможных и попарно несовместимых элементарных исходов этого испытания (полная система элементарных событий). Тогда в соответствии с классическим определением вероятностью случайного события А называется отношение числа несовместимых и равновозможных элементарных событий, составляющих систему А, к числу всех возможных элементарных событий: $P(A) = {m \over n}$, где P(A) - вероятность случайного события; m – число элементарных событий, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных событий.

Отсюда вероятность выпадения нечетного количества очков при подбрасывании симметричной кости кубической формы равна $P(A) = {3 \over 6} = {1 \over 2}$.

Общее число возможных случайных событий, которые можно образовать из n элементарных, равно 2n-1, а с учетом возможности непоявления ни одного из них - 2n.
Рассмотрим систему S событий A,B,C,..., каждое из которых при каждом осуществлении комплекс условий Ψ должно произойти или не произойти. Между событиями системы S известны следующие соотношения1 [23,27].

  1. Если при каждом осуществлении комплекса условий Ψ, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой В и обозначают это обстоятельство символом ⊂:

    A ⊂ B

    или символом ⊃:

    B ⊃ A.

  2. Если при каждой реализации комплекса условий Ψ события А и В оба наступают или оба не наступают, то говорят, что события А и В равносильны и обозначают это обстоятельство символом =:

    A = B.

  3. Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением событий и обозначается АВ.
  4. Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обознается

    A + B.

  5. Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается

    A - B.

  6. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным для А и обозначается символом $\bar A$.
  7. Событие называется достоверным, если оно с необходимостью должно произойти при каждой реализации комплекса условий Ψ.
  8. Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти (ни при одной реализации комплекса условий Ψ).
  9. Два события А и $\bar A$ называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения: A + $\bar A$ = Ω, A$\bar A$ = ∅, где Ω – достоверное событие.
  10. Два события А и В являются несовместимыми, если их совместное появление невозможно

    AB = ∅.

  11. Считается, что событие А подразделяется на частные случаи B1,B2,...,Bn, если

    A = B1 + B2 +...+ Bn,

    причем события Bi попарно несовместимы, т.е.

    BiBj = ∅ при i ≠ j.

  12. События B1,B2,...,Bn образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти при каждом осуществлении комплекса Ψ, т.е. если

    B1 + B2 +...+ Bn = Ω.

  13. Система событий называется полем событий, если она удовлетворяет следующим допущениям:

    а) если системе S принадлежат события А и В, то ей принадлежат также события AB, A + B, A - B;

    б) система S содержит достоверное и невозможное события.

Требование конечности группы равновероятных событий, поскольку оно редко выполнялось на практике, явилось серьезным препятствием для широкого применения классического метода вычисления вероятностей. Именно по этой причине азартные игры, для которых указанное требование выполнимо, долгое время служили почти единственной моделью изучения классической вероятности. В этой связи закономерными явились попытки обобщения понятия вероятности для случаев бесконечного множества исходов. При этом по-прежнему сохранялось требование равновероятности событий.

Общая задача указанного типа может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что случайные точки равномерно распределены в некоторой области. Тогда вероятность попадания в произвольную часть данной области пропорциональна ее площади (длине или объему) и не зависит от расположения и формы последней. Отсюда искомая вероятность равна отношению «благоприятной» площади к площади всей области. Указанный метод вычисления вероятности получил название геометрического.

Принято считать, что начало изучению геометрических вероятностей положил французский ученый Жорж Бюффон (1707-1788 гг.) в своей знаменитой «задаче об игле» [7,152]. Однако по данным Б.В. Гнеденко, впервые задача вычисления геометрических вероятностей была поставлена Д. Арбутнотом (1667-1735) в выполненном им в 1692 г. английском переводе книги Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» и опубликованным на 41 год ранее первой публикации Ж. Бюффона [23]. Дальнейшие исследования теории геометрических вероятностей сопровождались формулированием широкого ряда новых задач и нахождением их интересных решений.

Серьезное влияние на совершенствование понятия геометрической вероятности оказал французский математик Жозеф Луи Бертран (1822-1900), который в своей книге «Исчисление вероятностей» («Calcul des probabilities»), изданной в 1889 г., на удачно подобранных примерах показал, что логически понятие геометрической вероятности не выдерживает критики [93]. Играя на неопределенности терминологии, Ж. Бертрану для одной и той же задачи удалось получить несколько различных ответов. В качестве основной мишени им была избрана широко известная в настоящее время задача о проведении наудачу хорды внутри круга [23].

Покажем парадоксальность определения геометрической вероятности на более простом примере. При выборе случайной точки на интервале (0,1) вероятность выбрать число, меньшее ½, равна 50%. Однако, если все числа данного интервала возвести в квадрат и равномерно выбирать из этих квадратов, то указанная вероятность увеличится до 65,6% [93]. Конечно, первый ответ, т.е. 50%, более естественный. Но в других задачах выбор между естественными и неестественными решениями может оказаться гораздо сложнее.

Критика Бертрана привлекла пристальное внимание математиков к общим вопросам логического обоснования теории вероятностей, были выявлены многие другие парадоксы, связанные с вычислением геометрических вероятностей, в т.ч. и иные решения задачи Бертрана [93,112]. Важнейшим следствием приложенных усилий явилось осознание того, что выбор между естественными и неестественными методами вычисления геометрических вероятностей не всегда возможен на основе лишь логических рассуждений без учета практики. Кроме того, изучение задач подобного типа привело к возникновению очень интересного раздела математики, получившего название интегральной геометрии [163]. Именно на базе аналитического аппарата интегральной геометрии был разрешен парадокс Бертрана и другие, более сложные теоретические задачи. Сейчас интегральная геометрия приобретает все возрастающее значение во многих областях науки, в том числе и в медицине, в частности, для восстановления трехмерных фигур по их двумерным сечениям.

В патоморфологии и судебной медицине геометрическое определение вероятности нашло самое широкое применение при обосновании ответа на вопрос, каким образом и в какой степени трехмерная структура определенного объема ткани может отражаться в ее плоских сечениях (гистологических срезах). В настоящее время все судебно-медицинские приложения системной гистостереометрии базируются на важнейшем принципе геометрической вероятности: доля общего объема, которую занимают изучаемые структуры, равна части площади, занимаемой этими структурами на представительных срезах [7,107].

Другим перспективным приложением геометрического определения вероятности являются медико-криминалистические трасологические и антропологические исследования, основанные на сопоставлении, совмещении, наложении и репераже признаков на изображениях объектов. Именно геометрическое определение может составить базу для теоретического обоснования вероятности положительной идентификации исследуемого объекта в зависимости от конкретного количества совпадений существенных особенностей последнего с таковыми сравниваемого аналога.

Как уже упоминалось, классическое определение вероятности события предполагает конечность и равновозможность числа элементарных исходов. Наложение указанных ограничений приводит к тому, что при переходе от простейших примеров к рассмотрению более сложных задач классическое определение вероятности наталкивается на принципиально непреодолимые трудности. В частности, на практике приходится иметь дело с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, даже при ограниченном количестве исходов вероятности последних, как правило, не равновероятны, что делает невозможным использование геометрического метода определения вероятности. В этой связи был замечен и теоретически обоснован другой способ оценки неизвестной вероятности случайного события, получивший название статистического.

Пусть производится n однотипных испытаний, одним из исходов которых является данное событие А. Отношение числа появлений m события А к общему числу испытаний n называется относительной частотой события А. При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т.е. при числе испытаний n → ∞ относительная частота m/ n колеблется около некоторого постоянного числа р. При этом большие отклонения m/ n от р наблюдаются тем реже, чем многочисленнее испытания. Для случаев с конечными и равновозможными исходами испытаний оказалось, что р соответствует классическому определению вероятности. Данный эмпирический факт впоследствии нашел глубокие основания в теореме Бернулли [23].

Теорема Бернулли. Пусть m – число наступлений события А в n независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было ε > 0, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } P\left\{ {\left| {{m \over n} - p} \right| < \varepsilon } \right\} = 1$.

Таким образом, под статистическим определением вероятности понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний. Отсюда при большом числе n независимых испытаний, производящихся в неизменных условиях Ψ, относительная частота события А приближенно равна его статистической вероятности. Указанный факт значительно расширяет круг явлений, для которых возможна объективная оценка вероятностей событий.

Нередко из теоремы Бернулли делают совершенно необоснованный вывод, что частота события А при безграничном увеличении числа испытаний стремится к вероятности события А. Указанный факт в свое время послужил причиной распространения концепции вероятности, данной Р. Мизесом [цит. по 23].

Согласно Мизесу, если относительная частота по мере увеличения числа испытаний все меньше смещается от вероятности р, то в пределе должно быть $p = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m}{n}$.

Это равенство Мизес предложил считать определением понятия вероятности. Учитывая ограниченность классической вероятности и принципиальную применимость статистической вероятности ко всем имеющим научный интерес случаям, то классическое определение через равновозможность, основанную на симметрии, по мнению Мизеса, следует вовсе отбросить.

Однако на самом деле теорема Бернулли устанавливает только тот факт, что разность $m - \bar m$ становится пренебрежимо малой по сравнению с n. Например, согласно закону больших чисел Бернулли вероятность того, что при бросании монеты число выпадений герба приблизительно равно числу появившихся решек, стремится к 1 при увеличении числа бросаний. С другой стороны, вероятность того, что число гербов будет в точности равно числу решек, стремится к нулю [93]. Тем не менее, концепция Мизеса до сих пор имеет как восторженных сторонников и последователей (в основном в среде естествоиспытателей), так и серьезных критиков (среди математиков-специалистов в области теории вероятностей).

Для судебной медицины статистическое определение вероятности означает, что при достаточно большом количестве схожих эмпирических наблюдений абсолютное отклонение относительной частоты изучаемого события при данной совокупности условий его реализации от его вероятности будет меньше любой произвольной величины ε. Данное обстоятельство позволяет в качестве приближенного значения априорной вероятности р данного события в заданных условиях его реализации принять его относительную частоту m/ n.


1Изложенные соотношения относятся не только к классическому определению вероятности, но и ко всем дальнейшим обобщениям.

Читать далее раздел "1.4. Аксиоматическая теория вероятностей"⇒